CHAPTER-5

1. глава 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е
2. Проблема з позитивними і негативними частотами
3. перетворення Фур'є
4. фазова корекція
5. пари Фур'є
6. Теорема про згортку
7. Числове перетворення Фур'є
8. Помилка дискретизації
9. Двовимірне перетворення Фур'є
10. Контрольні питання
11. Перейти до: [ наступному розділі | початку глави | попередньому розділі | титульного аркушу ]

глава 5

ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Е

Вступ

До цього моменту, перетворення Фур'є (Fourier transform - FT) докладно не розбиралася з тієї причини, щоб стала зрозумілою його необхідність. Перетворення Фур'є - це математична операція, яка перетворює функцію від часу в частотні компоненти. Зворотне перетворення Фур'є (inverse Fourier transform - IFT) перетворює частотні компоненти в тимчасові компоненти.

повертаючись до розділі 2 , Перетворення Фур'є є математичний метод перекладу тимчасових характеристик даних в частотні і назад.

Проблема з позитивними і негативними частотами

Перед початком докладного опису перетворення Фур'є розглянемо наступне. Вектор намагніченості, початково спрямований уздовж позитивного променя осі X, обертається навколо осі Z за годинниковою стрілкою. Графік M x, як функції від часу є косинусоид. Так як з наявних даних перетворення Фур'є не розрізняє + і - обертання вектора з наявних даних, то воно дає піки як на + , Так і на - .

Графік M y, як функції від часу є синусоїда. Так як з наявних даних перетворення Фур'є не розрізняє позитивний вектор, що обертається з частотою + , І негативний вектор, що обертається з частотою - , То воно дає піки на + , Так і на - .

Рішенням є подача на вхід перетворення Фур'є як M x, так і M y. Перетворення Фур'є обробляє дві подані на вхід ортогональні функції, званими дійсної і уявної компонентами.

Реєстрація або M x, або M y (і тільки) компонент для подальшого перетворення Фур'є називається лінійної детекцией. Цей алгоритм детекції застосовувався в багатьох застарілих ЯМР-спектрометрах і деяких магнітно-резонансних томографах. Він змушував комп'ютер відкидати половину частотних компонент даних.

Реєстрація як M x, так і M y називається фазочувствительного детекцией (quadrature detection) і є методом детекції, застосовуваним на сучасних спектрометрах і томографах. Цей метод був обраний, так як завдяки йому перетворення Фур'є може тепер розрізняти + і - в отриманих частотних компонентах даних.

перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є визначається інтегралом

Уявімо f ( ) Як перекриття f (t) з хвилею частоти .

Уявити це легко, якщо розглянути тільки дійсну частину f ( ).

Уявімо функцію від часу f (t) = cos (4t) + cos (9t).

Для розуміння перетворення Фур'є розглянемо результат поєднання f (t) з cos ( t) для значень рівних від 1 до 10 і потім складаючи значення результатів між 1 і 10 секундами. Сума розглядається тільки для тимчасових значень між 0 і 10 секундою.

Зворотне перетворення Фур'є (IFT) найлегше уявити, як суму тимчасових компонент спектра частот в f ( ).

фазова корекція

Фактично, перетворення Фур'є використовує інформацію на вводі, що складається з дійсної та уявної частин. Уявімо M x, як подану на вхід дійсну частину і M y, як подану на вхід уявну частину. Отже, на виході, результат перетворення Фур'є буде мати дійсну і уявну частини.

Розглянемо наступну функцію:

f (t) = e-at e-i2 t

В ЯМР спектроскопії дійсна частина, отримана на виході перетворення Фур'є приймається за частотну компоненту спектра. Для того щоб отримати естетично правильну (абсорбційну) частотну компоненту спектра треба подати на вхід перетворення Фур'є функцію косинуса, як дійсну частину і функцію синуса, як уявну частину. Ось, що вийде, якщо подати на вхід косинус, як уявну і синус, як дійсну частину.

Щоб отримати спектр поглинання, як дійсну частину на виході перетворення Фур'є, або до тимчасової, або до частотної компоненті спектру необхідно застосувати фазову корекцію. Цей процес аналогічний описаному в розділі 2 перетворенню координат.

Якщо згадуваний раніше спад вільної індукції (FID) записаний так, що його дійсна й уявні частини мають фазовий зсув , Що становить 40 o, матриця перетворення координат може бути використана з = - 45 o. Дійсні частини скоригованих спадів вільних індукції будуть виглядати як функції косинуса, а уявні частини, як функції синуса.

Перетворення Фур'є над скоригованими по фазі спадами вільних індукції дає спектр поглинання для дійсної частини получающейся з перетворення Фур'є. Ця корекція може бути реалізована в частотної області також як і в тимчасовій області.

ЯМР-спектр вимагає проведення як константної так і лінійної корекцій фази сигналу після перетворення Фур'є.

= m + b

Необхідність в константних фазових корекціях, b, виникає через неможливість спектрометра вимірювати точні значення M x і M y. Необхідність в лінійних фазових корекціях, m, виникає через неможливість спектрометра вимірювати поперечну намагніченість одразу ж після РЧ імпульсу.

У магнітно-резонансної томографії сигнали M x або M y відображаються рідко. Замість цього використовується модуль сигналу. Модуль сигналу дорівнює квадратному кореню з суми квадратів M x і M y.

пари Фур'є

Для більш повного розуміння перетворення Фур'є над ЯМР функціями, необхідно знати кілька загальних пар Фур'є. Парою Фур'є є дві функції - частотна характеристика і відповідна тимчасова характеристика. Ось кілька пар Фур'є, використовуваних в МРТ. Амплітуда пар Фур'є опущена, так як вона не суттєва в МРТ.

Постійне значення на всьому відрізку часу.

Дійсна частина: cos (2 t), уявна: -sin (2 t)

Щіткова функція (Серії дельта-функцій, розділених T).

Експоненціальне загасання: e-at для t> 0.

Прямокутний імпульс, що починається в 0 і триває T секунд.

Гауссіан: exp (-at 2).

Теорема про згортку

Для вченого, що займається магнітним резонансом, наболее важливою теоремою стосується перетворення Фур'є є теорема згортки. Теорема згортки говорить про те, що перетворення Фур'є над двома згорнутими функціями пропорційно до результатів перетворень Фур'є над кожною функцією окремо, і навпаки.

Якщо f ( ) = FT (f (t)) і h ( ) = FT (h (t)),

тоді f ( ) G ( ) = FT (g (t) f (t)) і f ( ) g ( ) = FT (g (t) f (t))

Чи стане зрозуміліше, якщо подивитися на представлені малюнки. У віконці для анімацій ми спробуємо провести перетворення Фур'є над синусоїдою, яка то включається, то вимикається. По теоремі про пакунку виходить функція sinc з частотою вихідної синусоїди.

Іншим застосуванням теореми про згортку є придушення шуму. За допомогою теореми про згортку можна побачити, що згортання ЯМР-спектра з функцією Лоренца є те саме, що множення тимчасової компоненти сигналу на екпоненціально-загасаючу функцію.

Числове перетворення Фур'є

У магнітно-резонансних томографах комп'ютер реєструє не наскрізною спад вільної індукції, а спад розбитий на рівні інтервали (дискретно). Кожен відрізок має дискретні амплітуду і тимчасові значення. Комп'ютер виробляє перетворення Фур'є над серіями дельта-функцій, які відрізняються за інтенсивністю.

Помилка дискретизації

Проблема (або артефакт) накладення в магнітно-резонансної томографії є ​​зображення однієї половини об'єкту, що відображається на протилежному боці. З точки зору одновимірних частотних компонент спектра, накладення є наслідком наявності низькочастотних вершин на протилежному (невірної) стороні спектра.

Теорема про згортку може пояснити цю проблему, яка виникає при реєстрації поперечної намагніченості на занадто повільній швидкості. Спочатку подивимося, як виглядає підданий перетворення Фур'є належним чином зареєстрований спад вільної індукції. При фазочувствительного детекції ширина зображення дорівнює інвертованою частоті дискретизації (ширина зелену рамку на ілюстрації).

Якщо частота дискретизації менше, ніж ширина спектра, відбувається накладення.

Двовимірне перетворення Фур'є

Методом двовимірного перетворення Фур'є (two-dimensional Fourier transform - 2-DFT) є перетворення Фур'є, вироблене над двовимірним масивом даних. Розглянемо двовимірний масив даних, показаний на малюнку. Ці дані мають два виміри: t 'і t ". Перетворення Фур'є над даними проводиться спочатку в одному, а потім в іншому напрямках. Перша частина перетворень Фур'є проводиться в t' вимірі для отримання f 'на t" безлічі даних. Друга частина перетворень Фур'є проводиться в t "вимірі для отримання f 'на f" безлічі даних.

Двовимірне перетворення Фур'є необхідно для проведення МРТ на сучасному рівні. В МРТ, дані збираються в еквіваленті t 'і t "вимірам, званому К-просторі. Ці вихідні дані перетворюються для отримання зображення, яке еквівалентно описаним раніше f' на f" даними.

Контрольні питання

1. Що є результатом перетворення Фур'є над синусоїдою частотою 63 МГц?
2. Що є результатом перетворення Фур'є над прямокутним імпульсом тривалістю 50 m з?
3. Що є результатом перетворення Фур'є над синусоїдою частотою 63 МГц, яка триває (включена) тільки 50 m з?
4. Яка ширина функції з відповіді на питання 3 в Гц і в мільйонних частках (ppm), коли сигнал состовляет більше 90% від свого максимального значення? Чому це так важливо для ЯМР і МРТ?
5. Чому повинна дорівнювати частота дискретизації для точної реєстрації спаду вільної індукції від ЯМР-спектра шириною 2000 Гц?

Перейти до: [ наступному розділі | початку глави | попередньому розділі | титульного аркушу ]

Copyright © 1996-99 JP Hornak.
All Rights Reserved.