Восток Маркетинг


Статьи

НОУ ІНТУЇТ | лекція | дискретне програмування

  1. Предмет дискретного програмування
  2. Постановка завдання лінійного програмування
  3. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування
  4. приклад

Анотація: Предмет дискретного програмування. Постановка завдання лінійного програмування. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування. Загальний шлях знаходження оптимального плану. Обчислювальні методи лінійного програмування. Приклад математичної моделі дискретного програмування (транспортна задача). Метод північно-західного кута.

Предмет дискретного програмування

Справжня лекція присвячена дискретним завданням математичного програмування. Найбільш вивченими завданнями цього класу є цілочисельні задачі лінійного програмування, тобто завдання лінійного програмування, в яких на всі змінні (або на їх частину) накладено додаткову вимогу целочисленности. У першому з цих випадків зазвичай говорять про повністю цілочисельних, а в другому - про частково цілочисельних завданнях. Зрозуміло, аналогічним чином можна визначити цілочисельні (частково цілочисельні) варіанти і для більш загальних задач оптимального програмування - можна говорити, наприклад, про завдання опуклого цілочисельного програмування тощо.

Від цілочисельних задач прийнято відрізняти так звані дискретні задачі математичного програмування, в яких областю допустимого зміни кожної змінної є не безліч цілих невід'ємних чисел, а деякий заданий кінцевий безліч. Такі завдання (на кінцевих множинах) можуть бути формально зведені до цілочисельним.

Дослідження в цьому напрямку, розпочаті ще в шістдесяті роки минулого століття, до теперішнього часу просунулися настільки далеко, що зараз ми вже маємо право говорити про самостійне розділі математичного програмування - дискретно програмуванні. У літературі вживається також термін "целочисленное програмування" і рідше - "комбинаторное програмування". Однак нам представляється, що термін "дискретне програмування" найбільш повно відображає специфіку питання, хоча при його використанні і виникає деяка небезпека змішання дискретного програмування і, скажімо, дискретного аналізу.

Постановка завдання лінійного програмування

Лінійне програмування є складовою частиною більш загального методу - математичного програмування. Математичне програмування дозволяє знаходити найкращі плани розподілу обмежених ресурсів для досягнення необхідної мети - вирішення задачі. Лінійне програмування може бути використано як один з методів оптимізації рішення. Найкращий результат тут досягається не за рахунок виділення додаткових сил і засобів або інших ресурсів, а за рахунок їх раціонального розподілу.

Рішення, найкращим чином відповідає цільовій настанові і задовольняє умовам задачі, називається оптимальним планом.

Лінійне програмування від інших видів математичного програмування відрізняється тим, що математична модель, відповідна цільової установці завдання, може бути записана за допомогою лінійних співвідношень виду:

,

де де   -   -   - відомі коефіцієнти; - - - відомі коефіцієнти;

-   -   - невідомі змінні - - - невідомі змінні .

У загальному вигляді постановка задачі лінійного програмування має такий вигляд.

Умови завдання задаються у вигляді системи лінійних рівнянь або нерівностей, які представляють обмеження, що накладаються на використання наявних ресурсів:

де

. .

шукані величини шукані величини   не можуть бути негативними;   - відомі постійні величини, що характеризують умови задачі не можуть бути негативними; - відомі постійні величини, що характеризують умови задачі.

Цільова функція задається у вигляді такої лінійної форми:

де де   - постійні коефіцієнти, які зазвичай називають коефіцієнтами вартості - постійні коефіцієнти, які зазвичай називають коефіцієнтами вартості .

Цільову функцію за умовами задачі потрібно звернути в мінімум або максимум. У деяких завданнях вираження (6.2.) Задаються у вигляді нерівностей. У цих випадках, вводячи в кожне лінійне обмеження додаткові невід'ємні невідомі

, ,

можна привести систему лінійних обмежень до виду (6.2.).

Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування

Геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування розглянемо на прикладі.

приклад

Чотири види овочів Чотири види овочів   необхідно розподілити по шести транспортних засобів необхідно розподілити по шести транспортних засобів .

Розподіл овочів за транспортними засобами пов'язане з необхідністю врахування низки обмежень, які можуть бути описані системою чотирьох рівнянь з шістьма невідомими, аналогічними системі 6.2.

Сенс першого рівняння в нашому прикладі означає, що овоч типу 1, загальний ресурс якого становить 16 одиниць, може розміщуватися в кількості чотирьох одиниць на транспортному засобі першого типу і однієї одиниці на транспортному засобі четвертого типу. Аналогічно і друге рівняння і так далі.

Остання умова говорить про те, що число типів транспортного засобу не може бути негативним.

Необхідно визначити, яка кількість транспортного засобу кожного типу слід мати, щоб загальні втрати в них були мінімальними.

Оплата за конкретний транспортний засіб (в тисячах рублів) задана наступною таблицею.

Згідно з наведеними даними, цільова функція, що підлягає оптимізації, набуде вигляду:

.

Рішення завдання зводиться до виконання обмежень, заданих рівнянням (6.4.)

У цьому прикладі, коли У цьому прикладі, коли   , Кожне з обмежувальних лінійних рівнянь (6 , Кожне з обмежувальних лінійних рівнянь (6.4.), А також лінійна функція (6.5.), Можуть бути представлені геометрично в двомірному просторі (на площині), що дає можливість досить наочно інтерпретувати основні ідеї методу лінійного програмування.

Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування. Щоб мати можливість наочно уявити обмеження і цільову функцію на графіку, необхідно висловити все невідомі через дві незалежні величини, наприклад, Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування і , Відповідні координатним осях, щодо яких буде проводитися побудова ( Мал. 6.1 ). З рівняння (6.4.) Слід:

А цільова функція прийме такий вигляд:

. .

З зіставлення рівнянь (6.6.) І останнього з обмежень (6.2.) З зіставлення рівнянь (6 слід:

Кожному з нерівностей (6.8.) На графіку Мал. 6.1 відповідає напівплощина, в межах якої знаходяться всі допустимі даними нерівністю значення змінної величини Кожному з нерівностей (6 .

Так, наприклад, нерівності Так, наприклад, нерівності   відповідає напівплощина вправо від осі   (Межа її заштрихована) відповідає напівплощина вправо від осі (Межа її заштрихована).

нерівності

відповідає напівплощина вправо і вгору від лінії, що відповідає значенню даного нерівності (при відповідає напівплощина вправо і вгору від лінії, що відповідає значенню даного нерівності (при   ) ).

Рівняння цієї лінії

. .

Таким же чином можна побудувати кордону, що визначаються іншими рівняннями.

Нерівностей (6.8.) Відповідає деяка область - шестикутник Нерівностей (6 , Утворений межами згаданих вище напівплощин. Ця область може бути названа областю допустимих планів, оскільки будь-яка точка в її межах відповідає вимогам накладених обмежень (6.4.).

З усіх доступних планів нас цікавить оптимальний план, при якому функція мети досягає мінімуму.

Цільової функції відповідає сімейство паралельних прямих. Розглянемо одну з них, що проходить через початок координат, що буде мати місце при Цільової функції відповідає сімейство паралельних прямих .

При цьому

. .

Цікавить нас пряма Цікавить нас пряма   , Як видно з   малюнка 6 , Як видно з малюнка 6.1 , Має нахил вправо від осі . Переймаючись різними значеннями , Отримаємо сімейство прямих ліній, паралельних прямій , Яка проходить через точку 0. При цьому чим менше буде , Тим, очевидно, правіше розташовується відповідна пряма.

Оскільки ми добиваємося мінімального значення Оскільки ми добиваємося мінімального значення   , Нас буде цікавити пряма, розташована в найбільшому видаленні вправо від прямої   і проходить через багатокутник   , - пряма , Нас буде цікавити пряма, розташована в найбільшому видаленні вправо від прямої і проходить через багатокутник , - пряма .

Як видно з малюнка 6.1 , Єдиною точкою, відповідної оптимальному плану, буде та вершина багатокутника Як видно з малюнка   6 , Яка одночасно належить області допустимих планів і відповідає вимозі мінімізації цільової функції - вершина .

Отже мінімум цільової функції досягається в вершині многогранника. Існує теорема про те, що для будь-якого завдання лінійного програмування знайдеться вершина багатогранника допустимих рішень, в якій цільова функція досягає свого мінімального (максимального) значення.

Новости

Методы арт терапии
Арт терапия возникла в 30-е годы нашего века. Первый урок применения арт терапии относится к попыткам коррекции эмоционально-личностных проблем детей, эмигрировавших в США из Германии во время второй

Minecraft on ubuntu
Minecraft хорошо работает не только лишь под Windows, да и под Linux, но установка тут будет несколько труднее и не привычнее чем обычно. Все деяния, которые буду описаны ниже, совершались на операционной

Формочки для кекса
Бисквиты, маффины, пудинги очень нравятся и взрослым и детям и ассортимент кондитерских принадлежностей для их изготовления просто громаден. Но часто извлечь изделие из тары становится делом затруднительным,

Что можно купить маме на новый
Охото поделиться с вами мыслями — как сделать подарок маме своими руками на денек рождения, на денек мамы, на 8 марта либо на хоть какой другой праздничек. Естественно, хотелось бы, чтобы все помнили

Mysql database free download
Используя материалы этой статьи, можно без заморочек установить сервер базы данных MySQL на компьютер под управлением Windows XP, Windows Vista, Windows 7. Запустив файл дистрибутива MySQL жмем кнопку

Штрафы гибдд узнать задолженность
Сервис Штрафов Нет работает более 3-х лет, за этот период времени он отыскал более 1 000 000 штрафов ГИБДД и

Как создать в майнкрафте портал
Ведро можно сделать из трёх железных слитков, а с поиском источников воды заморочек появиться не должно. Рамка портала в Рай создаётся по тому же принципу, что и портал в Ад, а потом вовнутрь заливается

Тц green
Здрасти! Мы рады приветствовать Вас на веб-сайте Торгового центра «ГРИН». Торговый центр «ГРИН» открыт в 2008 г. и за этот период времени отлично зарекомендовал себя у неизменных покупателей, живущих

Креативные свадебные платья
Свадьба для жены – это повод снова обворожить возлюбленного и блеснуть перед гостями и всеми окружающими собственной красотой. Но если в ваши планы заходит шокировать всех своим возникновением, в том

Юнкер 4 купить
Этот Юнкер, про который далее буду говорить, был приобретен на местном форуме в разделе Купля-продажа пневматики. Он совсем не «верный», но на данный момент у него нет утечек и после переделки он стал

также можем предложить:
печать бланков и прайс-листов | печать визитных карточек (визиток)
изготовление папок и меню | изготовление блокнотов
печать листовок

Связаться с менеджером для оформления заказа:
тел.: +38 (062) 349-56-15, 348-62-20
моб.: +38 (095) 811-22-62, +38 (093) 665-38-06,
+38 (067) 17 44 103
факс: +38 (062) 332-28-98
e-mail: [email protected]
г. Донецк, ул. Артема, 41

   2010 © Восток Маркетинг Яндекс.Метрика