Загальна схема розв'язання задач B15

1. Завдання на максимальне / мінімальне значення
2. Завдання на точки максимуму / мінімуму

Всі завдання B15, які зустрічаються в ЄДІ з математики, діляться на два типи:

1. Завдання на пошук максимального або мінімального значення функції на відрізку. Іноді відрізок не заданий - в цьому випадку працюємо на всій числовій прямій;
2. Завдання на точку максимуму / мінімуму. Вирішуються трохи простіше, зате функції тут набагато різноманітніше.

У кожного з них свої алгоритми рішення, які будуть розглянуті нижче. Але в будь-якому випадку, щоб вирішити задачу B15, вчіться вважати похідну - см. « похідна ». Без похідних тут робити нічого.

Завдання на максимальне / мінімальне значення

Якщо в задачі B15 потрібно знайти максимальне або мінімальне значення функції () на відрізку [; ], Виконуємо наступні дії:

1. Знайти похідну функції: '();
2. Вирішити рівняння '() = 0. Якщо коренів немає, пропускаємо третій крок і переходимо відразу до четвертого;
3. З отриманого набору коренів викреслити все, що лежить за межами відрізка [; ]. Решта числа позначимо 1, 2, ..., - їх, як правило, буде трохи;
4. Підставами кінці відрізка [; ] І точки 1, 2, ..., в вихідну функцію. Отримаємо набір чисел (), (), (1), (2), ..., (), з якого вибираємо найбільше або найменше значення - це і буде відповідь.

Невелике пояснення з приводу викреслювання коренів, коли вони збігаються з кінцями відрізка. Таке цілком може зустрітися на цьому іспиті. Ці точки можна викреслити, оскільки на четвертому кроці кінці відрізка все одно підставляються в функцію - навіть якщо рівняння '() = 0 не мало рішень.

Також слід уважно читати умову задачі. Там, де необхідно знайти значення функції (максимальне або мінімальне), кінці відрізка і точки 1, 2, ..., підставляються саме в функцію, а не в її похідну.

Завдання. Знайдіть найбільше значення функції на відрізку [-5; 0]:

Для початку знайдемо похідну:

Потім прирівняємо її до нуля:

Викреслюємо корінь = 1, оскільки він не належить відрізку [-5; 0]. Залишилося обчислити значення функції на кінцях відрізка і в точці = -3. маємо:

Очевидно, що найбільше значення дорівнює 20 - воно досягається в точці = -3.

Завдання на точки максимуму / мінімуму

Тепер розглянемо випадок, коли потрібно знайти точку максимуму або мінімуму функції () на відрізку [; ]. Якщо відрізок не заданий, функція розглядається на своїй області визначення. У будь-якому випадку, схема рішення така:

1. Знайти похідну функції: '();
2. Вирішити рівняння '() = 0. Якщо похідна - дрібно-раціональна функція, додатково з'ясовуємо, коли її знаменник дорівнює нулю. Отримані коріння позначимо 1, 2, ...,;
3. Відзначити 1, 2, ..., на координатної прямий і розставити знаки, які приймає похідна між цими числами. Якщо заданий відрізок [; ], Відзначаємо його і викреслюємо всі, що лежить за його межами;
4. Серед решти точок шукаємо ту, де знак похідної змінюється з мінуса на плюс (це точка мінімуму) або з плюса на мінус (точка максимуму). Така точка повинна бути тільки одна - це і буде відповідь.

В цілому, завдання на точки максимуму / мінімуму вважаються навіть простіше, ніж завдання на пошук найменшого / максимального значення. Це відбувається хоча б через те, що тут не треба вважати значення функції в конкретних точках. Статистика свідчить, що саме на цьому етапі учні допускають найбільше помилок.

Вдумливий читач напевно помітить, що для деяких функцій цей алгоритм не працює. Дійсно, існує цілий клас функцій, для яких знаходження точок екстремуму вимагає більш складних викладок. Однак такі функції в ЄДІ з математики не зустрічаються.

Уважно поставтеся до розстановці знаків між точками 1, 2, ...,. Пам'ятайте: при переході через корінь парному кратності знак похідної не змінюється. Коли шукаються точки екстремуму, знаки читають зліва направо, тобто у напрямку числової осі.

Завдання. Знайдіть точку максимуму функції на відрізку [10; -1]:

Знайдемо похідну:

Оскільки це дрібно-раціональна функція, прирівнюємо до нуля чисельник:

Отримали два кореня. Тепер прирівнюємо до нуля знаменник:

Отримали = 0 - корінь другого кратності. При переході через нього знак похідної не змінюється. Залишилося відзначити точки = -5; = 0; = 5 на координатної прямої, а потім розставити знаки і кордони. маємо:

Очевидно, що всередині відрізка залишиться лише одна точка = -5, в якій знак похідної змінюється з плюса на мінус. Це і є точка максимуму.

Ще раз поясню, чим відрізняються точка екстремуму від самого екстремуму. Точка екстремуму - це значення змінної, при якій

функція приймає найбільше або найменше значення. Екстремум - це значення самої функції, максимальне або мінімальне в деякій околиці.

Дивіться також:

1. Завдання B15 - дослідження функції за допомогою похідної
2. Завдання B15: Рішення складних завдань і похідна приватного
3. Зведення дробів до спільного знаменника
4. Основне тригонометричну тотожність
5. Пробний ЄДІ з математики 2015: 4 варіант
6. Завдання на відсотки вважаємо відсотки за допомогою формули