Індукція Джона Стюарта Мілля

У процесі спостереження за навколишнім світом ми вирішуємо дві головні завдання, пов'язані зі створенням моделі, його описує. Перш за все ми виділяємо в спостережуваному деякі сутності. У логіці їм відповідають деякі поняття. А крім того, ми встановлюємо між цими поняттями певні відносини. Ці відносини можуть бути як спостерігаються безпосередньо за допомогою наших органів почуттів (наприклад, відносини типу «суб'єкт-дія» або «бути раніше», там і добудовувати на підставі деякої «логіки знань» (наприклад, відносини типу «причина - наслідок» або « мета - засіб »).

Серед усіх цих відносин чи не найголовнішу роль для пізнання навколишнього світу грають каузальні відносини, що відображають в найбільш загальній формі зв'язку причин і наслідків. Докладну розмову про каузальних зв'язках ми відкладемо до кінця цього розділу. А поки поговоримо лише про те їх вигляді, увага до якого залучили дослідження англійського логіка середини XIX століття Джона Стюарта Мілля. Він поставив перед собою задачу знаходження зв'язків між фактами і явищами на основі аналізу їх спільного появи або непоявленія в послідовності експериментів. При цьому він вжив заходів до того, щоб не повторювати знаменитої помилки при встановленні причинно-наслідкових зв'язків, яка увійшла в історію науки під назвою Post hoc ergo propter hoc, т. Е. «Після цього, значить внаслідок цього». А помилки такого типу не тільки зустрічалися і зустрічаються в побутових людських міркуваннях досі, але іноді подібні висновки робляться свідомо, наприклад, для створення несподіваних поетичних образів. Ось як чудово використовував цей прийом В. Луговський: «Річкові дівки в річках мочут коси, і над Руссю від цього Підіймає туман».

Принципи встановлення причинно-наслідкових відносин, які запропонував Мілль, ґрунтуються на ідеях виділення подібності та відмінності в спостережуваних ситуаціях зовнішнього світу. Здатність вловлювати подібність і виділяти відмінності - фундаментальна здатність, мабуть, всіх живих істот. Спираючись на цю здатність, Мілль сформулював свої принципи індукції. Першим з них є Принцип єдиного відмінності. У формулюванні, яка дана у відомому підручнику логіки В. Мінто, він звучить наступним чином: «Якщо після введення будь-якого фактора з'являється, або після видалення його зникає, відоме явище, причому ми не вводимо і не видаляємо ніякого іншого обставини, яке могло б мати в даному випадку вплив, і не виробляємо ніякої зміни серед первинних умов явища, то зазначений фактор і становить причину явища ».

Схематично цей принцип можна описати у вигляді такої схеми:

тут знак трактується лише як поява d при наявності a, b і с, a означає, що d не виникає. Повторення ситуацій n раз необхідно для того, щоб переконатися в стійкості всієї ситуації в цілому, для виключення випадку, коли d з'являється випадковим чином, не будучи ніяк
пов'язаним з а. Якщо n, з точки зору експериментатора, досить для впевненого виведення, то, використовуючи Принцип єдиного відмінності, можна стверджувати, що а є причиною, a d наслідком, т. Е. Що между.а і d має місце причинно-слідче відношення. Надалі будемо називати реалізації a, b, c d позитивними прикладами для d, a реалізації b, c d - негативними прикладами для d або контрприкладами.

Другий основний принцип індуктивного міркування Мілля носить назву Принципу єдиного подібності. У формулюванні того ж В. Мінто він звучить наступним чином: «Якщо всі обставини явища, крім одного, можуть бути відсутніми, не знищуючи цим явища, то це
одна обставина знаходиться в відношенні причинного зв'язку з явищем за умови, що прийняті були всі заходи до того, щоб ніяких інших обставин, крім прийнятих до уваги, в наявності не виявилося ».

Схематичне представлення цього принципу Мілля виглядає наступним обпязом:

У цій схемі всі приклади є позитивними. З неї по Принципу єдиного подібності випливає, що a і d пов'язані причинно-наслідковим відношенням.

Ще один принцип Мілля - Принцип єдиного залишку. Він формулюється В. Мінто наступним чином: «Якщо відняти від будь-якого явища ту частину його, яка згідно з колишніми дослідженнями виявляється наслідком відомих причин, присутніх в явищі причин, то залишок явища є наслідком інших причин».

Принцип єдиного залишку можна проілюструвати наступною схемою:

Отже, a і d пов'язані причинно-наслідковим відношенням, ab і з є можливими причинами е. Для подальшого уточнення залежно треба подивитися, чи приводить виняток b до появи е. Якщо призводить, то ставленням «причина - наслідок» пов'язані між собою з і е . В іншому випадку це відношення є між b і е.

Відзначимо ряд особливостей схем Мілля. Перш за все вони справедливі лише за умови, що в описі ситуації імещ-є повне безліч спостережуваних факторів або явищ. Наприклад, в останньому випадку може виявитися, що і виключення b, і виключення з не впливають на появу е. Тоді можна припустити, що для появи е необхідно або одночасне наявність b і с, або е викликається чимось, що не увійшли в опис ситуації .

Іншими словами, поява деякого елемента ситуації може визначатися не окремими факторами або елементами, а їх сукупністю, що задається за допомогою складного логічного вираження. У лівій частині причинно-наслідкового відношення може стояти складне вираз, в
якому окремі елементи можуть бути пов'язані між собою кон'юнктивний і (або) диз'юнктивними зв'язками.

Проілюструємо це на наступних прикладах. Як перший приклад розглянемо ситуації, показані на рис. 20. З ними пов'язана наступна історія. Коли якась людина зустрічає на вулиці незвичайних тваринок, то, дивлячись на них, він або радіє, або сумує. Нас цікавить які якості звіряток приводять людину в хороший настрій. Іншими словами, що є причиною його посмішки. Для зручності відповіді на це питання на рис. 20 позитивні приклади і контрприклади розділені штриховий рисою.

Як видно з малюнка, тваринки володіють трьома ознаками: формою спини, числом ніг і формою ніг. Що ж викликає посмішку? Використовуємо метод Мілля. Візьмемо в якості першої можливої ​​причини форму спини у тваринки. Позитивні приклади такі, що у всіх спостережуваних випадках ця форма вигнута вниз. Позначимо цю ознаку через а, а реакцію людини, коли він радіє, через d. Чи можна стверджувати, що а є причина d? Згідно Принципу єдиного подібності наявність спини такої форми має завжди викликати посмішку.

Але перший же контрприклад спростовує це. Число ніг (позначимо цю ознаку як b) також не може бути причиною посмішки. В позитивних прикладах b всюди дорівнює двом, і можна подумати, що саме дві ноги тваринки веселять людини. Але в трьох контрприклад ніг теж дві. З формою
ніг (ця ознака позначимо як с) ситуація в позитивними них прикладах така, що відразу ясно, що з не може бути причиною d.

Таким чином, жоден з ознак тваринки окремо не може бути причиною посмішки людини. Спробуємо виділити загальне ядро ​​подібності у всіх звіряток в позитивних прикладах. Таке ядро ​​є. Всі тваринки в цих прикладах мають вигнуту вниз спину і дві ноги. Іншими словами, для них завжди істинно твердження Р1 (а) & Р2 (b), в якому Р1 (а) - предикат, що інтерпретується як «форма спини, вигнута вниз», а Р2 (b) - предикат, що інтерпретується як «число ніг одно двом ». Перевіримо, чи буде істинним виділене ядро ​​в негативних прикладах. Простий перевіркою переконуємося, що воно скрізь помилково. Таким чином, причина посмішки людини знайдена. Вона виникає тоді і тільки тоді, коли зустрінута їм звірятко має вигнуту вниз спину і дві ноги.

Наведений приклад показує, що при використанні методів індуктивних міркувань, які запропонував Мілль, вельми важливу роль відіграє спосіб виділення ознак або фактів, за допомогою яких описуються ситуації.

Ще один приклад пов'язаний з ситуаціями, показаними на рис. 21. Тепер нас турбує реакція тваринки на тих людей, яких вона зустрічає на вулиці. У тваринки гарний настрій, коли вона зустрічає людей з виразом на обличчі, як в позитивних прикладах. І її настрій стає
поганим, коли їй зустрічаються люди з такими особами, як на негативних прикладах. Виникає питання про причини появи у тваринки гарного настрою при зустрічі з людьми. Три елемента особи: рот, ніс і очі, повністю характеризують вираз людського обличчя. будемо позначати
ці ознаки як е, f і g, а реакцію тваринки як h. Оскільки всі ознаки приймають тільки два значення, як і реакція тваринки, то можна (це можна було зробити і в попередньому прикладі, але було бажання продемонструвати загальний підхід, який використовує запис у вигляді предикатних
формул) обійтися формулами обчислення висловлювань. Будемо вважати, що е, f і g істинні, якщо вони відповідають типу рота, носа і очей людини з першого позитивного прикладу. Будемо також вважати істинним значення h, відповідне тваринки з хорошим настроєм. якщо виділити
ядро подібності у позитивних прикладів, то воно виявиться порожнім. Це свідчить про те, що причиною гарного настрою тваринки не може бути просто кон'юнкція якихось ознак людського обличчя. Вираз причини через ознаки має використовувати диз'юнкцію.

В цьому випадку треба спробувати знайти приватні ядра подібності і спробувати об'єднати їх в причину через операцію диз'юнкції. Виділимо всі попарні загальні ознаки у осіб, що входять в позитивні приклади. Перше і третя особа мають загальну частину е, перше і третє - f, а друге і третє - g. Перевіряємо, яке з отриманих виразів є хибним на всіх контрпрімерах.Таковим виявляється лише е. Значить, е повинно увійти в вираз для причини гарного настрою тваринки. Але тільки два перших позитивних прикладу характеризуються істинним е. Третій позитивний приклад псує всю справу.

Для того щоб врахувати третій приклад, треба побудувати загальне ядро ​​відмінності для нього і осіб, що входять в негативні приклади. Відразу видно, що форма рота тут не допоможе. Залишаються ніс і очі. Ніс і очі такої форми, як в третьому позитивному прикладі, можна окремо знайти в негативних прикладах. Але їх комбінація, характерна для третього позитивний приклад (при прийнятих нами позначеннях ця комбінація описується формулою f & ¬g), ніде не зустрічається в негативних прикладах. Це дозволяє, нарешті, написати вираз для причини h в такій формі: h = (eν (f & ¬g)). Словесно ця причинно-наслідковий зв'язок може бути описана наступним чином: звірятко знаходиться в хорошому настрої, якщо вона зустрічає людину, рот у якого сумний (кінці губ опущені вниз) або очі у нього закриті, а ніс тонкий і прямий.

Спробуємо тепер знайти причину, коли звірятко буває в поганому настрої. Звернемося для цього до негативних прикладів і спробуємо на них виділити загальне ядро ​​схожості. Воно легко виявляється. Це ¬е. Але, на жаль, в якості причини поганого настрою тваринки його
використовувати не можна. Все той же третій позитивний приклад перешкоджає цьому. Значить, і для причини поганого настрою тваринки треба шукати диз'юнктивне вираз. Знайдемо приватні попарні ядра подібності. Для першого і другого негативних прикладів це ядро ​​є ¬e & g, для
першого і третього - ¬е, а для другого і третього-¬e & ¬f. Друге приватне ядро ​​подібності збігається із загальним ядром подібності і тому інтересу не представляє. Два інших приватних ядра подібності на всіх обличчях позитивних прикладів виявляються помилковими. Це дозволяє записати вираз для
причини поганого настрою тваринки в такій формі: h '= ((¬e & g) ν (¬e & ¬f). З огляду на справедливість дистрибутивних законів для кон'юнкції щодо диз'юнкції і навпаки (читачі можуть перевірити цей факт, так як їм відомо, як перевіряти в обчисленні висловлювань рівність f1 = f2), можна записати вираз для причини поганого настрою тваринки в більш стислому вигляді: h '= (¬e & (gν¬f)). Словесно ця причина може бути сформульована таким чином: якщо рот людини посміхається і очі широко відкриті або ніс його за формою нагадує картоплю, то з верюшка впадає в поганий настрій.

Якщо скласти таблицю, в якій перераховані всі коглбінаціі істини і брехні для е, f і g, і визначити істинність h і h ', то можна переконатися, що h' = ¬h. Іншими словами, якщо h істинно, то звірятко знаходиться в хорошому настрої, а якщо h помилково, то в поганому. Це означає, що замість двох виразів для h і h 'можна користуватися тільки одним з них.

Така ситуація не є стовідсотковою. На рис. 22 ми знову зустрічаємося з відомою нам тваринки. Але тут вираження для h і h 'легко обчислюються за допомогою загальних ядер подібності, мають вигляд h = e & ¬g і ​​h' = g & ¬e. Іншими словами, звірятко в гарному настрої, коли зустрічає
людини з сумним ротом, і вона сумує, коли бачить людину з широко відкритими очима. В цьому випадку h і h 'ніяк не пов'язані між собою.

У чому полягає різниця два розглянутих випадку? Нехай на шляху нашої тваринки зустрівся чоловік з обличчям, обведений на рис. 21 і 22 в рамочку. Як зреагує на нього звірятко?

У випадку, показаному на рис. 21, вона тут же перейде в гарний настрій, бо h істинно, a h ', природно, помилково. Але в разі, відповідному рис. 22, ситуація для тваринки стає вельми складною. Для зустрівся їй персонажа h і h 'одночасно помилкові. Виникає конфлікт.
Новий персонаж не вкладається в ту класифікацію, яка була побудована за позитивним і негативним прикладам. Конфлікт для тваринки недозволено.

Його можна дозволити лише вольовим зусиллям. Треба включити новий персонаж в число яких позитивних, або негативних прикладів. В реалії розбиття чого-небудь на класи (в наших випадках на два класи) випливає з якихось прагматичних вимог. Наприклад, всі люди, віднесені до позитивних прикладів, відносяться до тваринки доброзичливо. Їх не потрібно побоюватися. А люди, які відносять до групи негативних прикладів, такі, що краще обійти їх стороною. Від них чекати добра не доводиться. Тоді вольове віднесення нового персонажа до тієї чи іншої категорії має отримати практичне підтвердження своєї правильності або неправильності. Якщо зустріч з ним для тваринки виявиться сприятливою, то його, звичайно, треба відносити до позитивних прикладів. В іншому випадку його місце серед негативних прикладів.

Ми продемонстрували дуже важливе положення, пов'язане з процесом індуктивного узагальнення. Якщо h і h 'класифікують безлічі позитивних і негативних прикладів, так що h = ¬h', то поява нових прикладів не ставить систему в глухий кут. Вона завжди кудись віднесе
новий випадок, т. е. при виконанні зазначеного рівності система володіє повнотою класифікації. Звичайно, може виявитися, що ця класифікація не є правильною. Адже вона побудована за неповним безлічі представників позитивного і негативного класів.

Нехай, наприклад, ми знову маємо класифікацію, яка відповідає ситуацій, показаним на рис. 21. Але контрольний приклад надходить в систему з зазначенням, що він відноситься до групи негативних прикладів. А система відповідно до раніше побудованої класифікації відносить його до позитивного класу. В такому випадку необхідно внести корективи в класифікацію, отриману раніше, виробити нову класифікацію з урахуванням нового безлічі негативних прикладів.

Висновок з цього тільки один. Оскільки безлічі позитивних і негативних прикладів не охоплюють всіх можливих випадків, то h і h ', побудовані за методами Міллі, навіть в тих випадках, коли h = ¬h', не можуть бути абсолютно точними. Ці твердження можуть бути прийняті лише з деякою оцінкою істинності Q (h) (відповідно Q (h ')). Але перш ніж описати, як ці оцінки обчислюються, розглянемо ще один метод правдоподібних міркувань.

з книги Поспєлова "Моделювання міркувань"